Procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes: un modelo de construcción del infinito matemático desde la teoría APOE

Autores: Diana Paola Villabona Millán, Solange Roa Fuentes**

Resumen: En este estudio se analizan las estructuras mentales que un individuo
puede desarrollar al construir el concepto de infinito en dos contextos particulares:
la paradoja de Aquiles y la tortuga y el triángulo de Sierpin´ ski. Con base
en la descomposición genética genérica del infinito, planteada por Roa-Fuentes
y Oktaç (2014), se estudian las características particulares de las estructuras y
los mecanismos que cada contexto genera. El análisis de los datos a partir del
trabajo llevado a cabo por estudiantes de posgrado en Matemáticas y Educación
Matemática, muestra cómo se da paso de un proceso iterativo infinito (infinito
potencial) a un objeto trascendente (infinito actual). Además se muestra la
importancia del mecanismo de coordinación para la construcción de procesos
iterativos infinitos.

Palabras clave: Teoría APOE, paradojas, triángulo de Sierpin´ ski, procesos iterativos
infinitos, objetos trascendentes.

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El rol del cuerpo en la construcción del concepto Espacio Vectorial

Marcela Parraguez González

Resumen: La investigación que se reporta a continuación utiliza la Teoría APOE como marco teórico y metodológico con el objetivo de explicar el rol del cuerpo (o campo) en la construcción del concepto espacio vectorial. Las tres componentes propuestas por el ciclo de investigación –descomposición genética; diseño y aplicación de instrumentos, y análisis y verificación de datos– determinan la estructura general del estudio. Resultados obtenidos indican que el rol del cuerpo en la construcción del concepto espacio vectorial está vinculado, a través de la combinación lineal de vectores, con la existencia de vectores linealmente independientes.

Palabras Clave: Teoría APOE, espacio vectorial, cuerpo.

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El infinito potencial y actual: descripción de caminos cognitivos para su construcción en un contexto de paradojas

Solange Roa Fuentes y Asuman Oktaç

Resumen: En este artículo se propone una descomposición genética genérica del infinito y dos descomposiciones genéticas particulares: una para la paradoja de las pelotas de tenis y otra para la paradoja del hotel de Hilbert. Estos análisis toman como fundamento la construcción de procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes relacionados con el infinito potencial y actual, respectivamente. Además, se presenta un análisis de las características de los procesos inmersos en cada situación y la complejidad que implica coordinarlos con el conjunto de los números naturales para construir procesos iterativos infinitos. Se estudia la dificultad que enfrenta un individuo al coordinar procesos de diferente naturaleza, convergentes y divergentes, para construir el infinito como un proceso.

Palabras clave: teoría apoe, procesos iterativos infinitos, mecanismos y estructuras mentales, objeto trascendente, paradojas.

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Una experiencia de enseñanza de los valores, vectores y espacios propios basada en la teoría apoe

Hilda Salgado y María Trigueros

Resumen:En el aprendizaje del Álgebra Lineal se observan problemas debido a que los conceptos resultan a menudo complejos por su alto nivel de abstracción. El tema correspondiente a los valores, vectores y espacios propios es muy abstracto, pero importante dadas sus múltiples aplicaciones. En este artículo se reportan los resultados de una investigación acerca del aprendizaje de los alumnos en un curso en el que estos conceptos se enseñaron usando un diseño didáctico basado en la teoría apoe (Acción, Proceso, Objeto, Esquema). Se presenta la descomposición genética diseñada y el análisis de los resultados del trabajo realizado por los alumnos en relación a los conceptos de interés. Los resultados validan la descomposición genética propuesta y muestran evidencias del aprendizaje de los alumnos. En particular ponen de manifiesto la posibilidad de
construir una concepción objeto de los conceptos en estudio y la construcción de la mayoría de los alumnos de una concepción proceso.

Palabras clave: valor propio, vector propio, espacio propio, teoría apoe, descomposición
genética.

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Construcciones mentales para el aprendizaje del concepto de probabilidad: un estudio de caso

Claudia Vásquez Ortiz y Marcela Parraguez González

Resumen:El propósito de la investigación que se reporta en este artículo es indagar mediante la teoría apoe (Acciones, Procesos, Objetos y Esquemas) en la construcciones mentales que estudiantes universitarios de primer año —dispuestos en un estudio de caso— muestran en la construcción del concepto de probabilidad. La estructura general del estudio se fundamenta en el ciclo metodológico que nos proporciona la misma teoría apoe, diseñando una descomposición genética a partir de un estudio histórico-epistemológico del concepto, la cual se pone a prueba a través de un cuestionario aplicado al caso. Los resultados
obtenidos indican que algunos de los estudiantes que han respondido al cuestionario, alcanzan la construcción objeto del concepto de probabilidad, lo que evidencia la validez de la descomposición genética propuesta como modelo de
construcción del concepto en cuestión.

Palabras clave: teoría apoe, construcciones mentales, aprendizaje, descomposición genética, probabilidad.

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Construcciones y mecanismos mentales para el aprendizaje del teorema matriz asociada a una transformación lineal

María Trigueros Gaisman, Isabel Maturana Peña,
Marcela Parraguez González y Miguel Rodríguez Jara

Resumen:Con base en la teoría apoe (Acciones, Procesos, Objetos y Esquemas) como marco teórico y metodológico, investigamos las construcciones y mecanismos mentales necesarios
para construir la Matriz Asociada a una Transformación Lineal (matl). Diseñamos una descomposición genética (dg) del teorema de la matl para analizar la forma en que estudiantes universitarios lo aprenden. Reportamos tres casos de estudio que muestran cómo los estudiantes construyen el concepto de coordenadas de un vector como objeto, pero tienen dificultades para utilizarlo en la construcción de un proceso de la matriz de coordenadas de imágenes de vectores mediante la transformación. Esta dificultad parece vinculada a que no han coordinado los procesos involucrados en términos del cuantificador. Específicamente, se muestran las dificultades en la construcción de la matl como objeto y el papel determinante que juega la consideración de la transformación lineal como una función en la comprensión profunda del tmatl.

Palabras Clave: Matriz asociada, Transformación Lineal,teoría apoe, Álgebra Lineal.

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