## Cycles of understanding about the concepts of function and variation

Authors: Verónica Vargas Alejo, Aarón Víctor Reyes Rodríguez, César Cristóbal Escalante

Abstract : In this paper we analyze the relationship between the conceptual tools
(representations) used by students enrolled in a college tourism program, to
model a situation about cost of sending packages, and the cycles of understanding
that the students develop about the concepts of step function, function, and
variation. Based on the perspective of Models and Modeling, the questions that
guide the discussion are: What kind of representations did first semester students
use to describe and analyze problematic situations where the underlying model
is a step function? To what extent did the representations support the development
of different cycles of understanding of the concepts of function and variation?
The results show multiple representations that students construct, analyze, modify,
and refine. The representations helped to acquire meaning of mathematical
concepts as function and variation.

Key words: Understanding cycles, functions, step functions, modeling and variation.

## A mathematical modelling as a means to detection student’s obstacles and difficulties related to the function concept: extension of a spring under a weight

Jose Benito Búa Ares, Teresa Fernández Blanco y Mª Jesús Salinas Portugal

Abstract:In this article we present a research about a mathematical modelling for the secondary school. Students start with a data table, it obtained experimentally by themselves, on the behavior of a spring subjected to a weight. From the data table and using the GeoGebra program, students obtain an analytical expression that relates the two variables (mass and length of the spring). After they obtained the model, students have to answer questions related to the mathematical model and the original extramathematical situation. The main objectives of the research are to show how students use their unserstanding about functions during the process to obtain the model and if students interpret the mathematical result in the context of the original extramathematical situation. The investigation results show it is possible obtain a mathematical model without the use of implicit mathematical knowledge and without the interpretation of the mathematical result in the original extramathematical situation.

Keywords: Modelling, functions, GeoGebra, lower secondary education, upper secondary education

## Una modelización matemática como medio de detección de obstáculos y dificultades de los alumnos sobre el concepto de función: alargamiento de un muelle sometido a un peso

Jose Benito Búa Ares, Teresa Fernández Blanco y Mª Jesús Salinas Portugal

Resumen:En este trabajo se presenta una investigación sobre una actividad de modelización matemática en la Enseñanza Secundaria. Los alumnos generan experimentalmente una tabla  de datos sobre el comportamiento de un muelle sometido a un peso. Partiendo de esos datos y utilizando GeoGebra, llegan a una expresión analítica que relaciona las dos variables presentes(masa y longitud del muelle). Una vez obtenido el modelo, los estudiantes responden a una serie de cuestiones relacionadas con el modelo matemático obtenido y con la situación extra-matemática origen de la modelización. Los objetivos principales de la investigación son, por un lado, mostrar hasta qué punto los alumnos integran los conocimientos adquiridos sobre funciones en el proceso de modelización. Y, por otro, mostrar hasta qué punto los alumnos interpretan el resultado matemático en la situación extra-matemática original. Los resultados de investigación ilustran que es posible que los alumnos obtengan un modelo matemático sin integrar los conocimientos matemáticos implícitos y sin interpretar el resultado matemático en la situación extra-matemática, origen de la modelización.

Palabras clave: Modelización, Funciones, GeoGebra, Enseñanza Secundaria, Bachillerato.