Entre la aritmética y el álgebra. Un análisis histórico de los “problemas de grifos”

Antonio M. Oller Marcén y Vicente Meavilla Seguí

Resumen: La transición entre la aritmética y el álgebra es un tema de investigación interesante y permanente en la Didáctica de la Matemática. En este sentido, el análisis del carácter algebraico o aritmético de ciertos problemas escolares aparece como un aspecto relevante a la hora de diseñar trayectorias didácticas que faciliten dicha transición. En este trabajo, planteamos el análisis histórico de una familia de problemas como herramienta a la hora de realizar un análisis de ese tipo y lo ejemplificamos mediante el caso paradigmático de los problemas de grifos.

Palabras clave: aritmética, álgebra, problemas de grifos, análisis histórico, historia de la matemática.

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El infinito potencial y actual: descripción de caminos cognitivos para su construcción en un contexto de paradojas

Solange Roa Fuentes y Asuman Oktaç

Resumen: En este artículo se propone una descomposición genética genérica del infinito y dos descomposiciones genéticas particulares: una para la paradoja de las pelotas de tenis y otra para la paradoja del hotel de Hilbert. Estos análisis toman como fundamento la construcción de procesos iterativos infinitos y objetos trascendentes relacionados con el infinito potencial y actual, respectivamente. Además, se presenta un análisis de las características de los procesos inmersos en cada situación y la complejidad que implica coordinarlos con el conjunto de los números naturales para construir procesos iterativos infinitos. Se estudia la dificultad que enfrenta un individuo al coordinar procesos de diferente naturaleza, convergentes y divergentes, para construir el infinito como un proceso.

Palabras clave: teoría apoe, procesos iterativos infinitos, mecanismos y estructuras mentales, objeto trascendente, paradojas.

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El infinito potencial y actual: descripción de caminos cognitivos para su construcción en un contexto de paradojas

Solange Roa Fuentes y Asuman Oktaç

Abstract:A generic genetic decomposition of infinite and two particular genetic decompositions is proposed in this paper: A paradox for tennis balls and one for the Hilbert Hotel paradox. These analyzes take as a basis the construction of infinite iterative processes and transcendent objects, related to the infinite potential and current, respectively. In addition an analysis of the characteristics
of the processes involved in each situation and the complexity of coordinating them with the set of natural numbers to construct infinite iterative processes is presented. The difficulty faced by an individual to coordinate processes of different nature is studied: converging and diverging to infinity as a build process.

Keywords: apos theory, infinite iterative processes, mechanisms and mental structures, transcendent object, paradoxes.

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Sobre la complejidad de la gestión en una clase de matemática: entre lo planificado y la realidad del aula. Modelización algebraica de problemas planteados en Z

Irma Saiz, Edith Gorostegui y Diego Vilotta

Resumen: En este artículo nos proponemos dar cuenta de los resultados de la exploración y caracterización de las estrategias docentes a propósito de la introducción al álgebra en clases ordinarias de secundaria. Nos referiremos a los gestos profesionales de un docente, relacionados tanto con la planificación de una clase como con su gestión en el aula. Observamos una serie de discrepancias entre sus expectativas y las producciones de los alumnos cuyo análisis nos permitió caracterizar la complejidad de la tarea docente. Concluimos que la complejidad de dicha tarea en los casos estudiados es el resultado de la conjunción de distintos aspectos. Por un lado, los conocimientos matemáticos y didácticos del profesor y su pretensión de constituir la clase como una comunidad de producción matemática que incluya plenamente la validación como parte de las tareas de los alumnos y, por el otro, la consideración de las razones de ser de los conocimientos matemáticos que se trabajan en la clase.

Palabras claves: estrategias docentes, resolución aritmética, ecuaciones, introducción al álgebra, números enteros, formación de profesores.

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Sobre la complejidad de la gestión en una clase de matemática: entre lo planificado y la realidad del aula. Modelización algebraica de problemas planteados en Z

Irma Saiz, Edith Gorostegui y Diego Vilotta

Abstract:In this article we intend to give account of the results of the exploration and characterization of teaching strategies related to the introduction to algebra in regular classes in high school. We refer to the professional attitudes of a teacher, related to the planning of a class and to classroom management. We point out a number of discrepancies between teacher’s expectations and the productions of students, the analysis of which allowed us to characterize the complexity of the teaching task. We conclude that the complexity of the task in the cases studied is the result of a combination of aspects. On the one hand, the mathematical and didactic knowledge of the teacher and his claim to make the class act as a community of mathematical production fully including validation as part of the students’ work and, on the other hand, the consideration of the essential reasons for the mathematical knowledge that is developed in the classroom.

Keywords: teaching strategies, arithmetic resolution, equations, introduction to algebra, integers, teacher training.

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Un aporte a la caracterización del comportamiento argumental y racional cuando se aprende a demostrar

Luis F. Lara y Carmen Samper

Resumen:En este artículo se informan algunos de los resultados obtenidos en un estudio de caso donde se analizaron las interacciones de un grupo de estudiantes (14-16 años) al resolver un problema geométrico dentro de un ambiente que propició actividad demostrativa. En particular, se describe e interpreta el comportamiento de los estudiantes con base en la propuesta de integración que Boero, Douek, Morselli y Pedemonte (2010) hacen de los modelos de Toulmin y de Habermas. Con el primer modelo, se analiza la elaboración de argumentos (comportamiento argumental); mientras que, con el segundo modelo, se indaga sobre los tres aspectos que caracterizan un comportamiento racional (epistémico, teleológico y comunicativo). Este estudio permite establecer que los estudiantes, luego de haber sido partícipes de un curso de geometría en donde se favoreció la indagación y la justificación, tienen un comportamiento argumental y racional acorde con el de una persona con mayor madurez matemática cuando justifican la conjetura que formularon como solución a un problema.

Palabras clave: actividad demostrativa, tipo de argumento, comportamiento racional.

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Un aporte a la caracterización del comportamiento argumental y racional cuando se aprende a demostrar

Luis F. Lara y Carmen Samper

Abstract: In this article, we report some of the results obtained in a case study in which we analyze a group of high school (14-16 years old) students’ interaction when they solve a geometric problem within an environment that favored proving activity. Particularly, the behavior of the students is described and interpreted using the integration of the Toulmin and Habermas models, proposed by Boero, Douek, Morselli y Pedemonte (2010). With the first model, we analyze the formulation of arguments (argumentative behavior); with the second one, we study the three aspects that characterize rational behavior (epistemic, teleological, and
communicative). This study permits establishing that the students, after having participated in a course where inquiry and justification are favored, have an argumentative and rational behavior that is in accordance with that of a person with greater mathematical maturity, as they justify the conjecture they formulated as solution to a problem.

Keywords: proving activity, type of argument, rational behavior.

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Teselaciones para niños: una estrategia para el desarrollo del pensamiento geométrico y espacial de los niños

Sonia Milena Uribe Garzón, Óscar Leonardo Cárdenas Forero
y James Frank Becerra Martínez

Resumen: El presente artículo describe los elementos que constituyen la propuesta didáctica Teselaciones para niños como una alternativa en el aula que se viene adelantando en la escuela con niños de preescolar y primaria básica (entre los 5 y 11 años de edad) desde el año 2004, la cual recurre al trabajo con las teselaciones (creaciones artísticas con polígonos regulares o irregulares que, repetidos sobre el plano, llenan completamente una región sin vacíos ni superpuestos), de modo exploratorio y dinámico. El propósito fundamental es desarrollar las habilidades del pensamiento espacial (coordinación visomotriz, coordinación figura-fondo, constancia perceptual, percepción de posición en el espacio, relaciones de percepción espacial, discriminación visual y memoria visual) y la construcción de conocimientos, nociones y conceptos geométricos(euclidianos, como por ejemplo, línea, vértices, polígonos; topológicos, como región, interior, frontera; proyectivos e isometrías propias del plano euclidiano y de la geometría de las transformaciones, como son las transformaciones relacionadas con rotación, traslación y reflexión) de los niños en la escuela primaria. La propuesta se materializa en el diseño e implementación de un conjunto de unidades didácticas coherentemente estructuradas que integran elementos propiosde la geometría, el pensamiento espacial y la expresión artística. Con todo eso se apuesta por integrar un nuevo currículum con un nuevo saber escolar matemático y artístico.

Palabras clave: geometría activa, teselaciones geométricas, habilidades de percepción espacial, conceptos y nociones geométricas.

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Teselaciones para niños: una estrategia para el desarrollo del pensamiento geométrico y espacial de los niños

Sonia Milena Uribe Garzón, Óscar Leonardo Cárdenas Forero
y James Frank Becerra Martínez

Abstract: The present article describes the elements that are immersed in the didactic proposal Tessellations for Children, as a class alternative, that has been developed in the school with preschoolers and the primary school children(between 5 and 11 years old) since 2004. It appeals to the job with tessellations (artistic creations with regular or irregular polygons that repeated on the plane completely fill a region without gaps or overlapping) in order to develop the spatial thinking skills (visual-motor coordination, figure-ground coordination, perceptualconstancy, perception of position in space, spatial relations perception, visual discrimination and visual memory) and the construction of knowledge, ideas and geometric concepts (Euclidean for example line, vertex and polygons; topological as inner region and border; projective and isometrics own the Euclidean plane and from the geometry transformation in which are rotation, translation and reflection) from children in primary school. The proposal materializes in the design and implementation of a number of didactic units structured coherently that integrate elements of geometry, of the spatial knowledge and the artist expression that permits to integrate a new curriculum into a new mathematic and artist knowledge.

Keywords: active geometry, geometric tessellations, spatial perception skills, geometric concepts and ideas.

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El aprendizaje y la comprensión de los objetos matemáticos desde una perspectiva ontológica

Cristina Pecharromán

Abstract: This article contains a theoretical research study that interprets the learning and understanding of the mathematical objects from an ontological position with respect to its nature. The nature of mathematical objects is associated with their functional origin, and the aspects of representation and meaning that configured the mathematical object are constituted from this functionality. The  representation allows the expression and use of the object. The meaning attends to the interpretation of the object. The set of interpretations that may be associated with an object by the functionality that it represents configures its meaning. The learning of a mathematical object serves the representational aspect that sets him, and to the development of a meaning staff on it, from the experiences of the individual with the object. Finally, understanding of the mathematical objects is recognition of organizational or interpretative functionality of the context that represents the object, and the development of the ability to use this functionality.

Keywords: mathematical objects, learning, understanding, representation, meaning.

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