## Intertextuality about Negative Numbers in Elementary School’s Children: An Historical Approach

Abstract: We analyze the cognitive processes of an elementary school student
in relation to informal ideas with integers. The study is grounded on two fundamental
theorical concepts: intertextuality and the senses of use of negatives. The
intuitive ideas about negative numbers from this student suggest a possible
teaching trajectory for the learning of integers, pointing to an earlier introduction
of this concept. In addition, we used semiotic analysis to observe the student’s
perspective in solving problems. We discuss historical conflicts of the mathematicians
in the acceptance of negative numbers. This work has historical character
and allows the deep understanding of a student with low academic performance,
in his adherence to natural numbers, with respect to integers. We discuss how
the student exhibits only the sense of the subtractive, that is to say the first level
of acceptance of the negative number.

Keywords: Integers, intertextuality, history of negative numbers, elementary school,
semiotics.

DOI: 10.24844/EM2902.03

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## Mathematization and Mathematical Work in Creating Simulators with GeoGebra

Abstract : The article focuses on the modeling processes through which a group
of students learn mathematics while participating in a simulation experience with
GeoGebra. Specifically, a cognitive perspective is taken to analyze the processes
of mathematization and mathematical work carried out by these students when
representing a piece that composes the mechanism of a steam engine type
Newcomen. This perspective refers to the “modeling cycle” of Blum, Leiβ (2007),
specifically regarding the transit through the real model phases, mathematical
model and mathematical results. The analysis of the cognitive processes contributed
to identify nine episodes that reveal how the students, with the guidance
of a teacher, generated a mathematical model useful to represent the piece in
the GeoGebra and constructed a dynamic drawing associated with this model.
The results obtained account for the existence of types of mathematical models
generated in mathematisation, different levels of analysis in mathematical work
and characteristics of the role that teachers play in guiding the development of
the activity.
Keywords: Mathematical modeling, Creating simulators with GeoGebra, cognitive

DOI: 10.24844/EM2902.02

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## How do Six to Nine Year-old Children Understand Geometrical Shapes

Abstract. This study examines developing concepts of geometric shapes in 6 to
9 years old children. We use the notions of Duval’s perceptual, operative and
discursive apprehensions and Fischbein’s figural concept to analyse the students’
understanding of shapes and how they completed sorting tasks. We interviewed
30 children ages 6 to 9 and analysed how they recognized and associated figure
attributes so as to classify them. Findings indicate that (a) There is a mismatch
between the term used to name prototypical figures and the way in which they
are understood; (b) That the recognition of attributes to classify figures is not a
uniform process and depends on which attribute is considered (c) The prototypical
figures condition the understanding of the notion of geometrical figure class.
These findings give us new knowledge about how elementary school students
establish relations between perceptual and conceptual approaches in understanding
the progression of the geometrical shapes.

Keywords: Understanding of shapes, figural concept, clinical task-based interview,
geometrical thinking, geometric shapes.

DOI: 10.24844/EM2902.01

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## Number Theory in Upper Secondary Education: Some Less Conventional Possibilities

José Luiz Pastore Mello

Abstract: The presence of the number theory in mathematical academic curriculum
is predominantly focused on discussion and validating of strategies for
simplifying calculations with numbers. Beyond this pragmatic aspect, there is
another rich opportunity to work with the number theory in direct connection with the fundamentals of mathematical thinking. In this article, I present definitions
and some properties of happy and polite numbers, which can be a rich
material to work with the arithmetic and algebraic aspects of number theory in
a classroom with upper secondary students.

Key words: number theory, happy numbers, polite numbers, figurate numbers,
mathematical thinking, computer programming.

DOI: 10.24844/EM2902.08

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## Identificación de estrategias en un juego bipersonal entre estudiantes universitarios

Resumen. El propósito de este manuscrito es ampliar nuestro conocimiento
acerca de las potencialidades que ofrece el uso de juegos de estrategia, para
promover habilidades útiles en la resolución de problemas. Se reportan los
resultados de un estudio a nivel universitario sobre la práctica del juego bipersonal
“círculo de monedas”. Para ello se analizaron las partidas de cuatro jugadores.
Los principales resultados del artículo son: 1) se identifican estrategias
utilizadas por los estudiantes al intentar ganar, 2) se identifican las condiciones
bajo las cuales surgen dichas estrategias y 3) se argumenta cómo la práctica
de juegos de estrategia podría favorecer el desarrollo de heurísticas útiles en la
resolución de problemas.

Palabras clave: actividades lúdicas, enseñanza universitaria, estrategias, juegos
educativos, matemática educativa.

DOI: 10.24844/EM2902.07

## Análisis de las estrategias de resolución de problemas en matemática utilizadas por estudiantes talentosos de 12 a 14 años

Resumen. Este artículo presenta parte de un estudio cuyo foco es el análisis de
estrategias y procedimientos matemáticos que desplegaron estudiantes talentosos
en un taller de resolución de problemas en la Quinta Región de Chile, utilizando
el análisis implicativo como recurso estadístico. La metodología consideró
el trabajo de un grupo de estudiantes que individualmente resolvían problemas
según la temática en estudio, y a los cuales se les permitió explicar sus estrategias
principal hallazgo, se evidencia el uso eficaz de las estrategias ensayo y error,
búsqueda de patrones y haz una lista para resolver distintos problemas, que
demandaron manipular un conjunto de números naturales consecutivos bajo
se activaron a la luz de las estrategias utilizadas, y su relación con los contenidos
matemáticos que los programas de estudio declaran. Esta estrategia
de trabajo permite establecer las distintas formas de proceder en la resolución de problemas de los estudiantes que participaron y al mismo tiempo el uso de
los recursos operatorios que ellos utilizaban, considerando la necesidad de desarrollar
la habilidad de resolver problemas, establecida por el currículo nacional
en Chile.
Palabras Clave: Resolución de problemas, estrategias, talento.

DOI: 10.24844/EM2902.06

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## Estabilidad y cambio conceptual acerca de las razones de cambio en situación escolar

Resumen. Este artículo da cuenta de una investigación cuyo objetivo se centró
en estudiar la estabilidad y el cambio conceptual acerca de algunas razones
de cambio en estudiantes de bachillerato. Para ello se diseñó, aplicó y valoró,
una secuencia de aprendizaje que tuvo como escenario el salón de clase de una
una evaluación pre-post test, a través de la cual fueron contrastadas las ideas
previas con las ideas manifestadas al final de la aplicación de la secuencia de
aprendizaje. Los cambios conceptuales van, de interpretar a la velocidad en una
gráfica distancia-tiempo “como punto” o como “magnitud de la distancia” a la
concepción geométrica del “desplazamiento vertical” respecto del “desplazamiento
horizontal”; de la fijación por la fórmula v = d/t a la utilización del cociente de
diferencias v = Ds/Dt. Se notó estabilidad en la concepción que asocia a las ordenadas de mayor magnitud de una gráfica tiempo-estatura, como las que
representan la “mayor rapidez de crecimiento”.
Rapidez.

DOI: 10.24844/EM2902.05

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## Una clase de matemáticas sobre problemas de aplicación, en una escuela multigrado unitaria. Un estudio de caso

Resumen. Con el propósito de contribuir al conocimiento de las prácticas de
la enseñanza de las matemáticas en las escuelas multigrado, en el presente
artículo se analizan las condiciones que una maestra, con experiencia en este
tipo de escuelas, crea para favorecer la resolución de problemas, con alumnos
de los seis grados de primaria simultáneamente. El estudio se realizó con
herramientas metodológicas que proceden de la investigación en didáctica de
las matemáticas, especialmente para el estudio del medio, y de la etnografía,
al considerar los saberes docentes que sustentan tales prácticas. El análisis
ayudó a identificar múltiples recursos utilizados por la maestra: problemas con
la diversificación de las fuentes de ayuda al fomentar las interacciones
entre los alumnos; varias formas de optimizar el tiempo, entre otros. Así mismo
se pusieron en evidencia algunas tensiones entre lo que la maestra se proponía
hacer y lo que lograba.
Palabras clave: problemas aritméticos, escuela unitaria, medio (milieu).

DOI: 10.24844/EM2902.04

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## Intertextualidad sobre números negativos en niños de primaria: un acercamiento histórico

Resumen: Se analizan los procesos cognitivos de un estudiante de primaria en
relación a las ideas informales con enteros. Se recurre a dos conceptos fundamentales:
la intertextualidad y los sentidos de uso de los negativos. El conocimiento
de las ideas intuitivas del alumno respecto a los negativos sienta las
bases para guiar una posible instrucción futura, con miras a una introducción
temprana de los enteros. Se exponen los conflictos de los matemáticos del pasado
con respecto a la aceptación de los números negativos. El análisis semiótico
nos permitió observar la perspectiva del estudiante al resolver las tareas planteadas.
Este trabajo tiene carácter histórico y permite la comprensión profunda
del pensamiento de un alumno de bajo desempeño académico, en su apego a
los números naturales, respecto a ciertos temas de los enteros. Se pone al descubierto
cómo el alumno solo exhibe el sentido del sustractivo, es decir, el primer
nivel de aceptación del número negativo.

Palabras clave: Números enteros, intertextualidad, historia de los números negativos,
educación primaria, semiótica.

DOI: 10.24844/EM2902.03

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## Matematización y trabajo matemático en la elaboración de simuladores con GeoGebra

Resumen: El artículo se centra en los procesos de modelación a través de los
cuales un grupo de estudiantes aprenden matemática mientras participan en
una experiencia de simulación con GeoGebra. Específicamente, se asume una
perspectiva cognitiva para analizar los procesos de matematización y trabajo
matemático llevados a cabo por estos alumnos al representar una pieza que
compone al mecanismo de una máquina de vapor tipo Newcomen. Tal perspectiva
se refiere al “ciclo de modelación” de Blum, Leiβ (2007), específicamente
en lo que respecta al tránsito por las fases modelo real, modelo matemático y